家庭教育指导师证授权单位是指在国家教育部门或相关行业组织颁发的家庭教育指导师证书上注明的具有资格认证、培训和考核的家庭教育指导师培训机构或单位，这些机构或单位通常具备一定的资质要求，如拥有专业的师资队伍、完善的教学设施和教学管理体系等，以确保家庭教育指导师的培训质量和水平。

家庭教育指导师证授权单位主要由以下几个部门或机构负责：

1、教育部：作为国家教育部门，教育部负责制定家庭教育的相关政策和标准，对家庭教育指导师的培训和考核进行监管，教育部还会定期组织家庭教育指导师的专业培训和考试，以确保家庭教育指导师具备一定的专业素质和能力。

2、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部负责制定和管理家庭教育指导师职业资格证书制度，对家庭教育指导师的培训和考核进行监管，人力资源和社会保障部还会组织开展家庭教育指导师的专业培训和考试，以提高家庭教育指导师的专业水平。

3、中国心理学会：中国心理学会作为全国性的心理学专业组织，负责对家庭教育指导师的专业培训和考核进行指导和监督，中国心理学会会定期组织家庭教育指导师的专业培训和考试，以确保家庭教育指导师具备一定的心理学知识和技能。

4、其他相关行业组织：如全国妇联、全国少工委等，这些组织也会参与家庭教育指导师的培训和考核工作，以提高家庭教育指导师的专业素质和服务水平。

5、地方教育局或人社局：各级地方教育局或人社局也会负责本地区的家庭教育指导师培训和考核工作，确保家庭教育指导师具备一定的专业知识和能力。

6、社会力量：除了政府部门外，一些社会组织、企事业单位、高等院校等也承担着家庭教育指导师培训和考核的任务，为社会提供专业的家庭教育指导服务。

家庭教育指导师证授权单位是国家和相关部门认可的家庭教育指导师培训机构或单位，它们在家庭教育指导师的培训、考核和专业发展方面发挥着重要作用，获得家庭教育指导师证书的家庭教育指导师可以在家政服务公司、社区教育机构、心理咨询机构等场所从事家庭教育指导工作，为广大家长提供科学、有效的家庭教育建议和支持。