家庭教育指导师证的发证机关是指负责颁发家庭教育指导师证书的政府部门或机构，家庭教育指导师证书的发放主要由以下几个部门或机构负责：

1、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部是国家级的行政机关，负责制定和实施国家职业资格证书制度，根据《中华人民共和国职业资格证书条例》，人力资源和社会保障部负责对家庭教育指导师职业资格进行认证和管理，家庭教育指导师需通过人社部组织的职业资格考试，取得相应的职业资格证书，方可从事家庭教育指导工作。

2、教育部：教育部是国家级的教育行政部门，负责全国范围内的教育工作，教育部会对家庭教育指导师的专业培训和实践进行指导和监督，确保家庭教育指导师具备一定的专业素质和能力，教育部还会对家庭教育指导师的培训教材、课程设置等方面进行指导和规范。

3、各省、自治区、直辖市人力资源和社会保障厅(局):各省、自治区、直辖市人力资源和社会保障厅(局)作为地方级别的人力资源和社会保障部门，负责本行政区域内的职业资格证书管理工作，在家庭教育指导师证书的发放过程中，各省级人力资源社会保障厅(局)会与中央级部门密切配合，共同确保家庭教育指导师证书的权威性和有效性。

4、各省、自治区、直辖市教育厅(局):各省、自治区、直辖市教育厅(局)负责本行政区域内的教育工作，包括家庭教育的指导和普及，各地教育厅(局)会与人力资源和社会保障部门合作，共同开展家庭教育指导师的培训和考核工作，确保家庭教育指导师具备一定的专业知识和实践能力。

5、其他相关部门：除了上述主要部门外，还有一些其他相关部门也会参与家庭教育指导师证书的发放工作，卫生健康委员会可能会对家庭教育指导师的健康状况进行审核；公安部门可能会对家庭教育指导师的身份信息进行核实等，这些部门的参与有助于确保家庭教育指导师证书的真实性和可靠性。

家庭教育指导师证的发证机关涉及多个部门和机构，包括国家级的人力资源和社会保障部、教育部以及各省、自治区、直辖市的人力资源和社会保障厅(局)、教育厅(局)等，这些部门和机构共同负责家庭教育指导师证书的发放和管理，确保家庭教育指导师具备一定的专业素质和能力，为社会提供优质的家庭教育服务。